módulo 7

Existe una sencilla regla para comprobar si un número natural es divisible entre 7, que es la siguiente:
Separamos la cifra de las unidades del número inicial, la multiplicamos por 2 y se la restamos al resto del número (lo que quedó sin las unidades). Si obtenemos un múltiplo de 7 entonces el número inicial es múltiplo de 7, y si obtenemos un número que no es múltiplo de 7 pues el inicial tampoco lo es. Si obtenemos un número demasiado grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o no, repetimos el proceso anterior las veces necesarias hasta que lleguemos a un número del que sepamos si es o no múltiplo de 7.
Pongamos un ejemplo:
* Número: 432
* 2x2=4
* 43-4=39
* Como 39 no es múltiplo de 7 entonces 432 no es múltiplo de 7
Este algoritmo es algo lento si el número es demasiado grande, pero bueno, al menos tenemos uno, ¿no?
Uhmmm… ¿no habrá alguna otra forma? Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos tiene guardada una sorpresa en lo que al 7 se refiere…
El grafo de la divisibilidad entre 7:

El blog de Tanya Khovanova es uno de esos sitios en los que muy a menudo pueden encontrarse auténticas perlas matemáticas. La que os os voy a presentar aquí la he encontrado allí, aunque no es de ella, sino de David Wilson. Es un grafo a partir del cual no sólo podemos saber si un número es divisible entre 7 de manera algo más rápida que con el algoritmo anterior (al menos bajo mi punto de vista) sino también el resto que deja dicha división en el caso de no serlo. Vamos a verlo

Para saber si un número natural es divisible entre 7 comenzamos en el cero, recorremos desde él tantas flechas negras como indique la primera cifra del número y después seguimos la flecha blanca que salga del punto al que hemos llegado. Tomamos la segunda cifra y hacemos lo mismo: desde el punto donde nos encontramos recorremos tantas flechas negras como indique la segunda cifra y después la flecha blanca que nos encontramos en el destino. Y así sucesivamente. Cuando lleguemos a la última cifra recorremos desde el punto donde nos encontremos tantas flechas negras como ella indique y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7.

Tomemos un número grande, digamos el 239058. Con el método anterior posiblemente tardaríamos un buen rato en comprobar si nuestro número es divisible entre 7 o no (podéis comprobarlo). Además no conoceríamos el resto de dicha división. Probemos con nuestro grafo:

* Desde el 0 dos flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos al 6

* Desde el 6 tres flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos otra vez al 6

* Desde el 6 nueve flechas negras, llegando al 1; ahora una flecha blanca y llegamos al 3

* Desde el 3 no recorremos ninguna flecha negra, por lo que nos quedamos en el 3; ahora una flecha blanca y llegamos al 2

* Desde el 2 cinco flechas negras, llegando al 0; ahora una flecha blanca, por lo que nos quedamos en el 0

* A para finalizar, desde el 0 ocho flechas negras, llegando al 1.

Por tanto, el resto de dividir 239058 entre 7 es 1 (y por tanto no es divisible entre 7).